【写在月25日20:53，发布后发现上下标给我全滤了?，我调整一下，过会儿再看

    硬核程度：

    涉及领域：计算理论

    大标题：三种函数外加三种操作怎样解决所有可计算问题？为什么偏递归函数可以制造无限循环？

    可能是全最不报菜名、最不装比的解释。

    以下开始：

    首先，什么是可计算？

    可计算就是指，有一个算法，我们把它交付给计算后，计算可以像执行一个函数一样，接受我们给它的输入，然后返回输出，这个输出就是我们想要的答案。

    为了方便描述，先行约定一下数学符号。

    假设我们有一个乘法器，叫做lt，它可以接受一对整数作为输入，把它们相乘后输出一个整数。

    比如，输入(3，4)输出2

    输入(6，2)输出2

    输入(0，6)输出0

    这时，我们把这些输入数对叫做dn，输出的一个数叫做dn。如果我们用z来代表全体整数集，那么这个平平无奇的乘法器就可以用数学符号表示为：

    lt:z^2z

    中间的这个表示这个lt是一个ttlfntn，也许可以称作“全函数”吧，意思是每一个dn里的输入，都能对应一个dn里的输出。

    与全函数相对应的是，是“偏函数”。对于偏函数，对于有些输入，它并不能给出输出。比如一个除法器，当我们给它(6，0)时，它输出不了任何东西。这个除法器可以表示为：

    dv:z^2—z

    这里的单横线代表这是一个偏函数（其实应该用半箭头表示，但在这里打不出来）

    好了，定义好符号之后，就可以清爽地描述我们的三种基本函数：后继函数、零函数、投影函数。

    后继函数：:nn，()=+，n代表自然数集。我们给它2，它输出3；给它3它输出4。总之就是往上+

    零函数：zer:nnn，zer()=0。不管给它什么，它都输出0

    投影函数：prjn:nnn，prjn(，，n)=。它接受长度为n的输入，输出第个自然数。比如，prj22(，3)=3。

    好了，盖大楼的砖块一共就这么三种，接下来把它们组合在一起就行了。

    我们定义一个叫“组合”的函数f，它的功能是把n个函数组合在一起：

    f:nn—n

    具体的，如果每一个被组合的函数g都可以接受同一组参数(，，)，那么组合n个g函数的操作可以被表示为：

    f[g，，gn]:n—n

    展开为：

    f[g，，gn](，，)=f(g(，，)，，gn(，，))

    举个栗子：

    我们构造一个函数ne，ne()=，即：不论给它什么输入，它都输出为，那么：

    ne()=(0)=(zer())

    即：[zer]=ne

    验证一下：

    [zer]()=(zer())=(0)=

    ()(e)　　和zer两个基本函数组成了我们要的ne，完美。

    如果栗子再复杂一点，我们想要一个加法器dd，dd(，y)=+y，怎么用那三种基本函数组合？

    也很简单，从具体输入入：

    dd(3，2)=(dd(3，))=((dd(3，0)))=((3))

    似乎只需要组合多个后继函数就可以了呢。

    当然，这里面有一个毛病，在于我们在没有定义好dd的前提下，先入为主地认为dd(3，0)=3

    所以我们不能认为自己就这么简单地构造了dd，只能退而求其次地得到以下关系：

    dd(，y+)=(dd(，y))，这个式子是十分严谨的。

    更具体地，要想算出dd(，y+)，就要知道dd(，0)=，我们称dd(，0)=为基准条件；dd(，y+)=(dd(，y))为递归条件。

    看起来就差临门一脚了，只要我们能用三种基本函数构造出dd(，0)=，就能得到dd(，y+)，也就能构造出我们想要的加法器。

    也很显然，dd(，0)==prj

    于是，我们的加法器有了。

    这种看起来很像左脚踩右脚登天的构造方式叫做“原始递归”，它的定义是这样的：

    基准函数f:nn—n

    递归函数g:nn+2—n

    使用f和g的原始递归=pn(f，g):nn+—n

    对于:

    基准条件：(，n，0)=f(，，n)

    递归条件:(，，n，y+)=g(，，n，y，(，，n，y))

    回到我们的加法器dd：

    dd:n2n

    dd(，y)=+y=p(f，g)

    基准条件：dd(，0)=f()=prj

    递归条件：dd(，y+)=g(，y，dd(，y))=(dd(，y))，g=[prj33]

    dd=p(prj，[prj33]）

    完美无瑕。

    类似地，乘法器lt=p(zer，dd[prj3，prj33])

    前继函数，减法器等等基本运算都可以据此定义，只需要prj，zer，三种原始函数和组合，原始递归p这两种基本操作。所有完全函数都可以据此构造。

    那么“偏函数”呢？

    构造偏函数还需要额外的一个操作：最化。

    如果我们有一个函数f:n^n+—n(这里^代表上标，虽然不好看，但实在是敲得太麻烦没有耐心了)，具体的f(，n，)，其中，n是固定参数，是可变参数。

    那么最化操作为：μ^nf:n^n—n它会找到给它输入的n个参数里，最的一个，并输出

    比如f(5，4，3，2，，0)=0

    如果遇到重复参数，那么就输出第一个最的。

    比如f(5，4，3，2，，)=

    ()(e)　　假设我们有一个投影函数长这样：

    prj2:n2—n(prj2中的2是上标，是下标，下同，写不动摆烂了)

    那么μ^prj2:n—n

    举个栗子：

    假如我们给prj2弄一个最化操作：μ^prj2()，其中是固定参数。

    如果我们穷举一下可变参数，就会发现：

    prj2(，0)=

    prj2(，)=

    我们永远也拿不到0，也就不存在最化。也就是，对于μ^prj2而言，并不是每一个输入都对应一个输出，所以应用最化操作，我们成功地构建了一个偏函数。

    加减乘三种操作都在上文构建过了，现在就只剩下一个除了。除法dv需要用最化操作来构建。

    假设，我们收到两参数和b，想求/b，那么其中存在如下关系：

    =qxb+r，其中0r＜b

    我们想要的就是满足式子qxb的最大的q，这等同于满足(q+)xb＞，于是带余除法被转化为了一个最化问题：

    找到最的q使其满足(q+)xb＞

    也就是构造一个函数f:n^3—n

    f(，b，q)=如果(q+)b，=0如果(q+)b＞

    f(，b，q)=letneql(lt((q)，b)，)

    f=let[[prj33]，prj32]，prj3]

    其中letneql=zerb

    zer=b[zer，prj]

    b是减法器

    对f进行最化操作即可得到我们想要的结果。

    验证一下：

    f(，5，0)=letneql(lt(，5)，)=不等于0，所以0不是输出。

    f(，5，)=letneql(lt(，5)，)=0，最，所以是输出。

    dv(，5)=//5=没错，十分完美。

    如果我们想计算一下//0:

    f(，0，0)=letneql(lt(，0)，)=不等于0，所以0不是输出。

    f(，0，)=letneql(lt(2，0)，)=不等于0，所以0不是输出。

    无论我们给f(，0，)传入什么，都找不到最的，所以dv(，0)=//0无解，符合现实。

    如果把最化操作运用在原始递归函数上，得到的新函数就叫做偏递归函数。

    好了，现在加减乘除我们都有了，只要是可计算的算法，我们都能执行。

    至于无限循环怎么制造出来，从μ^prj2()和dv的栗子都可以看出来，如果最化操作找不到最值，就永远不会给出输出，这相当于wle语句的功能。

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    下一章是正常内容